Giải bài 5.35 trang 72

Đề bài

Cho đường tròn tâm O, đường kính MN. Một đường tròn (N) cắt (O) tại A và B.

a) Chứng minh rằng MA và MB là hai tiếp tuyến của (N).

b) Đường thẳng qua N và vuông góc với NA cắt MB tại C. Chứng minh hai điểm M và N đối xứng với nhau qua OC.

c) Đường thẳng qua M và vuông góc với MA cắt NB tại D. Chứng minh ba điểm O, C và D thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh $O A = O B = O M = O N$ .

+ Chứng minh tam giác MAN vuông tại A nên $M A ⊥ A N$ tại A, suy ra MA là tiếp tuyến của (N).

+ Chứng minh tam giác MBN vuông tại B nên $M B ⊥ B N$ tại B, suy ra MB là tiếp tuyến của (N).

b) + Chứng minh $\hat{M_{1}} = \hat{N_{1}}$ , $\hat{M_{1}} = \hat{M_{2}}$ nên $\hat{M_{2}} = \hat{N_{1}}$ . Suy ra, tam giác CMN cân tại C. Do đó, CO là đường trung trực của MN. Do đó, hai điểm M và N đối xứng với nhau qua OC

c) + Vì $M A ⊥ M D$ và MD//AC (cùng vuông góc với MA) nên $\hat{D M N} = \hat{A N M}$

+ Chứng minh $\hat{D N M} = \hat{A N M}$ suy ra $\hat{D M N} = \hat{D N M}$ nên tam giác DMN cân tại D, suy ra D nằm trên đường trung trực CO của MN. Vậy ba điểm O, C và D thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Vì M, A, N, B thuộc (O) nên $O A = O B = O M = O N$ .

Tam giác MAN có $O A = O M = O N = \frac{1}{2} M N$ , tức là trung tuyến OA có độ dài bằng nửa độ dài cạnh MN nên tam giác MAN vuông tại A.

Do đó, $M A ⊥ A N$ tại A.

Mà A thuộc (N) nên MA là tiếp tuyến của (N).

Tam giác MBN có $O B = O M = O N = \frac{1}{2} M N$ , tức là trung tuyến OB có độ dài bằng nửa độ dài cạnh MN nên tam giác MBN vuông tại B.

Do đó, $M B ⊥ B N$ tại B.

Mà B thuộc (N) nên MB là tiếp tuyến của (N).

b) Vì AM//NC (cùng vuông góc với AN) nên $\hat{M_{1}} = \hat{N_{1}}$ .

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (N) nên MN là phân giác của góc AMB.

Do đó, $\hat{M_{1}} = \hat{M_{2}}$ .

Do đó, $\hat{M_{2}} = \hat{N_{1}}$ .

Suy ra, tam giác CMN cân tại C.

Do đó, trung tuyến CO (vì $O M = O N$ ) đồng thời là đường trung trực của MN.

Do đó, hai điểm M và N đối xứng với nhau qua OC.

c) Vì $M A ⊥ M D$ và MD//AC (cùng vuông góc với MA) nên $\hat{D M N} = \hat{A N M}$ .

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (N) nên NM là phân giác của góc ANB.

Do đó, $\hat{D N M} = \hat{A N M}$

Do đó, $\hat{D M N} = \hat{D N M}$ nên tam giác DMN cân tại D, suy ra D nằm trên đường trung trực CO của MN.

Vậy ba điểm O, C và D thẳng hàng.