Giải bài 5.39 trang 37

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

$\Delta :\{\begin{array}{c}x=2+3t\\ y=1+2t\\ z=-1+t\end{array}$ và ${\Delta }^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=-1+s\\ y=2-s\\ z=3+2s\end{array}$

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$.

b) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$.

c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua $A\left(-3;2;2\right)$ và song song với đường thẳng $\Delta$.

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$ lần lượt là $\overrightarrow{u}=\left(3;2;1\right)$ và $\overrightarrow{u^{\prime }}=\left(1;-1;2\right)$.

Ta thấy hai vectơ chỉ phương này không cùng phương.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left(2;1;-1\right)$, ${\Delta }^{\prime }$ đi qua điểm $N\left(-1;2;3\right)$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\left(-3;1;4\right)$; $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right]=\left(5;-5;-5\right)$.

Xét $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right]\cdot \overrightarrow{MN}=-40\ne 0$. Suy ra hai đường thẳng $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$chéo nhau.

b) Ta có $\cos \left(\Delta ,{\Delta }^{\prime }\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot \left|\overrightarrow{u^{\prime }}\right|}=\frac{\left|3-2+2\right|}{\sqrt{9+4+1}\cdot \sqrt{1+1+4}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$.

c) Do d song song với $\Delta$ nên nó có cùng vectơ chỉ phương với $\Delta$.

Suy ra một vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=\left(3;2;1\right)$.

Phương trình đường thẳng d là $\{\begin{array}{c}x=-3+3t\\ y=2+2t\\ z=2+t\end{array}$.