Giải bài 5.40 trang 37

Trong không gian Oxyz, cho điểm I(3;−2;−1)I(3;−2;−1)I\left( {3; - 2; - 1} \right) và mặt phẳng (P):x−2y−2z+3=0(P):x−2y−2z+3=0\left( P \right):x - 2y - 2z + 3 = 0. a) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P). b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và (S) tiếp xúc với (P). c) Viết phương trình

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm $I (3; - 2; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : x - 2 y - 2 z + 3 = 0$ .

a) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và (S) tiếp xúc với (P).

c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và d vuông góc với (P).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Ý b: Bán kính mặt cầu (S) là $d (I, (P))$ .

Ý c: Vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (P).

Lời giải chi tiết

a) Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là $d (I, (P)) = \frac{| 3 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3 |}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{12}{3} = 4$ .

b) Do mặt cầu (S) có tâm I và (S) tiếp xúc với (P) nên bán kính của (S) là $R = d (I, (P)) = 4$ .

Phương trình mặt cầu (S) là ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 16$ .

c) Do d vuông góc với (P) nên vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (P) là

$\vec{n} = (1; - 2; - 2)$ .

Phương trình đường thẳng d là ${\begin{cases} x = 3 + t \\ y = - 2 - 2 t \\ z = - 1 - 2 t \end{cases}$ .