Giải bài 5.41 trang 37

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2t\\ z=-1-2t\end{array}$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x+y+z+5=0$.

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt $\Delta$ và vuông góc với $\Delta$.

c) Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

a) Ta có I thuộc $\Delta$ nên I$\left(1+t;2t;-1-2t\right)$.

Mặt khác I thuộc (P) suy ra $2\left(1+t\right)+2t-1-2t+5=0\iff 2t+6=0\iff t=-3$.

Do đó, I$\left(-2;-6;5\right)$.

b) Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n}=\left(2;1;1\right)$. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-2\right)$.

Đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ nằm trên mặt phẳng (P) vuông góc với $\Delta$ nên ${\Delta }^{\prime }$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u^{\prime }}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right]=\left(4;-5;-3\right)$.

Mặt khác có đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt $\Delta$ nên I thuộc ${\Delta }^{\prime }$.

Phương trình đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ là $\{\begin{array}{c}x=-2+4t\\ y=-6-5t\\ z=5-3t\end{array}$

c) Ta có $\sin \left(\Delta ,\left(P\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|2+2-1\right|}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{6}}=\frac{2}{3\sqrt{6}}$ suy ra $\left(\Delta ,\left(P\right)\right)\approx 15,8^{\circ }$.