Giải bài 5.41 trang 37

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (Delta :left{ begin{array}{l}x = 1 + t\y = 2t\z = - 1 - 2tend{array} right.) và mặt phẳng (left( P right):2x + y + z + 5 = 0). a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng (Delta ) và mặt phẳng (P). b) Viết phương trình đường thẳng (Delta ') nằm trên mặt phẳng (P)

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 t \\ z = - 1 - 2 t \end{cases}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + y + z + 5 = 0$ .

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình đường thẳng $Δ^{'}$ nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt $Δ$ và vuông góc với $Δ$ .

c) Tính góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (P).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Biểu diễn I theo tham số t và thay tọa độ của nó vào phương trình mặt phẳng (P) để tìm t.

Ý b: Đường thẳng cần tìm đi qua I và nhận tích có hướng của vectơ chỉ phương của $Δ$ với vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.

Ý c: Áp dụng công thức tính sin của góc cần tìm.

Lời giải chi tiết

a) Ta có I thuộc $Δ$ nên I $(1 + t; 2 t; - 1 - 2 t)$ .

Mặt khác I thuộc (P) suy ra $2 (1 + t) + 2 t - 1 - 2 t + 5 = 0 \Leftrightarrow 2 t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 3$ .

Do đó, I $(- 2; - 6; 5)$ .

b) Vectơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n} = (2; 1; 1)$ . Vectơ chỉ phương của $Δ$ là $\vec{u} = (1; 2; - 2)$ .

Đường thẳng $Δ^{'}$ nằm trên mặt phẳng (P) vuông góc với $Δ$ nên $Δ^{'}$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u^{'}} = [\vec{u}, \vec{n}] = (4; - 5; - 3)$ .

Mặt khác có đường thẳng $Δ^{'}$ nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt $Δ$ nên I thuộc $Δ^{'}$ .

Phương trình đường thẳng $Δ^{'}$ là ${\begin{cases} x = - 2 + 4 t \\ y = - 6 - 5 t \\ z = 5 - 3 t \end{cases}$

c) Ta có $\sin (Δ, (P)) = \frac{| \vec{u} \cdot \vec{n} |}{| \vec{u} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{| 2 + 2 - 1 |}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{3 \sqrt{6}}$ suy ra $(Δ, (P)) \approx 15, 8^{\circ}$ .