Giải bài 5.42 trang 38

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ:⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2ty=−2+tz=1+3tΔ:{x=3+2ty=−2+tz=1+3t\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 2 + t\\z = 1 + 3t\end{array} \right. và Δ′:x+23=y−32=z−1−2Δ′:x+23=y−32=z−1−2\Delta ':\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}. a) Chứng min

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ : {\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = - 2 + t \\ z = 1 + 3 t \end{cases}$ và $Δ^{'} : \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 1}{- 2}$ .

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng $Δ$ và $Δ^{'}$ chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa $Δ$ và song song với đường thẳng $Δ^{'}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Tính tích vô hướng của tích có hướng của hai vectơ chỉ phương với $\vec{A B}$ , với A, B lần lượt thuộc $Δ$ và $Δ^{'}$ .

Ý b: Mặt phẳng (P) đi qua A và có một vectơ pháp tuyến là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương.

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của $Δ$ là $\vec{u} = (2; 1; 3)$ , vectơ chỉ phương của $Δ^{'}$ là $\vec{u^{'}} = (3; 2; - 2)$ .

Đường thẳng $Δ$ đi qua $A (3; - 2; 1)$ , đường thẳng $Δ^{'}$ đi qua $B (- 2; 3; 1)$ .

Ta có $[\vec{u}, \vec{u^{'}}] = (- 8; 14; 1)$ ; $\vec{A B} = (- 5; 5; 0)$ . Suy ra $[\vec{u}, \vec{u^{'}}] \cdot \vec{A B} = 110 \neq 0$ .

Do đó $Δ$ và $Δ^{'}$ chéo nhau.

b) Do (P) chứa $Δ$ và song song với đường thẳng $Δ^{'}$ nên (P) có một vectơ pháp tuyến là $[\vec{u}, \vec{u^{'}}] = (- 8; 14; 1)$ và (P) chứa điểm $A (3; - 2; 1)$ .

Phương trình mặt phẳng của (P) là $- 8 (x - 3) + 14 (y + 2) + 1 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow - 8 x + 14 y + z + 51 = 0$ .