Giải bài 5.42 trang 38

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{c}x=3+2t\\ y=-2+t\\ z=1+3t\end{array}$ và ${\Delta }^{\prime }:\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{-2}$.

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$ chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa $\Delta$ và song song với đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$.

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=\left(2;1;3\right)$, vectơ chỉ phương của ${\Delta }^{\prime }$ là $\overrightarrow{u^{\prime }}=\left(3;2;-2\right)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left(3;-2;1\right)$, đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ đi qua $B\left(-2;3;1\right)$.

Ta có $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right]=\left(-8;14;1\right)$; $\overrightarrow{AB}=\left(-5;5;0\right)$. Suy ra $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right]\cdot \overrightarrow{AB}=110\ne 0$.

Do đó $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$ chéo nhau.

b) Do (P) chứa $\Delta$ và song song với đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ nên (P) có một vectơ pháp tuyến là $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right]=\left(-8;14;1\right)$ và (P) chứa điểm $A\left(3;-2;1\right)$.

Phương trình mặt phẳng của (P) là $-8\left(x-3\right)+14\left(y+2\right)+1\left(z-1\right)=0\iff -8x+14y+z+51=0$.