Giải bài 5.43 trang 38

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (left( S right):{left( {x - 2} right)^2} + {left( {y + 1} right)^2} + {left( {z - 3} right)^2} = 9) và điểm (Aleft( {2; - 1;1} right)). a) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S). c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đ

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ và điểm $A (2; - 1; 1)$ .

a) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Từ phương trình mặt cầu suy ra tâm và bán kính.

Ý b: So sánh IA và bán kính mặt cầu.

Ý c: IA là vectơ pháp tuyến của (P).

Lời giải chi tiết

a) Mặt cầu (S) có tâm $I (2; - 1; 3)$ , bán kính $R = 3$ .

b) Ta có $I A = \sqrt{2^{2}} = 2 < 3 = R$ . Suy ra điểm A nằm trong mặt cầu (S).

c) Kẻ IH vuông góc với mặt phẳng (P) thì $I H \leq I A$ nên IH lớn nhất khi H trùng với A.

Để khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất thì IH lớn nhất.

Khi đó A là hình chiếu của I trên (P).

Suy ra mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{I A} = (0; 0; - 2)$ .

Phương trình mặt phẳng (P) là $- 2 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow z - 1 = 0$ .