Đề bài
Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
a) x2+y2+z2+6x−8z+5=0.
b) x2+y2+z2−4x+6z+17=0.
c) 2x2+2y2+2z2−5=0.
Ý a: Xét phương trình x2+y2+c2−2ax−2by−2cz+d=0, xác định a, b, c và kiểm tra điều kiện a2+b2+c2−d>0.
Ý b: Xét phương trình x2+y2+c2−2ax−2by−2cz+d=0, xác định a, b, c và kiểm tra điều kiện a2+b2+c2−d>0.
Ý c: Xét phương trình x2+y2+c2−2ax−2by−2cz+d=0, xác định a, b, c và kiểm tra điều kiện a2+b2+c2−d>0.
Lời giải chi tiết
a) Trong không gian, mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+c2−2ax−2by−2cz+d=0.
(S) có tâm (a;b;c) và bán kính √a2+b2+c2−d với a2+b2+c2−d>0.
Xét phương trình x2+y2+z2+6x−8z+5=0 ta có a=−3,b=0,c=4,d=5.
Suy ra a2+b2+c2−d=9+16−5=20>0.
Do đó phương trình trên xác định một mặt cầu có tâm I(−3;0;4) và bán kính R=√20=2√5.
b) Trong không gian, mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+c2−2ax−2by−2cz+d=0.
(S) có tâm (a;b;c) và bán kính √a2+b2+c2−d với a2+b2+c2−d>0.
Xét phương trình x2+y2+z2−4x+6z+17=0 ta có a=2,b=0,c=−3,d=17.
Suy ra a2+b2+c2−d=4+9−17=−4<0.
Do đó phương trình trên không phải là phương trình mặt cầu.
c) Trong không gian, mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+c2−2ax−2by−2cz+d=0.
(S) có tâm (a;b;c) và bán kính √a2+b2+c2−d với a2+b2+c2−d>0.
Xét phương trình 2x2+2y2+2z2−5=0⇔x2+y2+z2−52=0 ta có a=0,b=0,c=0,d=−52.
Suy ra a2+b2+c2−d=52>0.
Do đó phương trình trên xác định một mặt cầu có tâm I(0;0;0) và bán kính R=√52.
