Giải bài 5.44 trang 89

Đề bài

Cho hình vuông $H_1$ có cạnh bằng a. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $H_2$. Lặp lại cách làm như trên với hình vuông $H_2$ để được hình vuông $H_3$. 

Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông $H_1,H_2,H_3,...,H_n,...$ Gọi $s_n$ là diện tích của hình vuông $H_n$.

a) Tính tổng $s_n$.

b) Tính tổng $T=s_1+s_2+...+s_n+...$

Lời giải chi tiết

Cạnh của hình vuông $H_2$ là $a_2=\sqrt{{\left(\frac{a}{4}\right)}^2+{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{5}{8}}a.$

Khi đó $s_2=\frac{5}{8}{a}^2=\frac{5}{8}{s}_1$.

Lí luận tương tự, ta có $s_3=\frac{5}{8}{s}_2,...,s_n=\frac{5}{8}{s}_{n-1}={\left(\frac{5}{8}\right)}^{n-1}{a}^2$.

Từ đó $T=s_1+s_2+...+s_n+...$

$=a^2\left[1+\frac{5}{8}+{\left(\frac{5}{8}\right)}^2+...+{\left(\frac{5}{8}\right)}^{n-1}+...\right]=\frac{8a^2}{3}$.