Giải bài 5.45 trang 38

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x+2y−z+8=0(P):2x+2y−z+8=0\left( P \right):2x + 2y - z + 8 = 0 và (Q):2x+2y−z+2=0(Q):2x+2y−z+2=0\left( Q \right):2x + 2y - z + 2 = 0. a) Chứng minh rằng (P)∥(Q)(P)∥(Q)\left( P \right)\parallel \left( Q \right). b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P)(P

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y - z + 8 = 0$ và $(Q) : 2 x + 2 y - z + 2 = 0$ .

a) Chứng minh rằng $(P) ∥ (Q)$ .

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Chứng minh hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương và một điểm bất kỳ của mặt phẳng này không thuộc mặt phẳng còn lại.

Ý b: Tính khoảng cách của một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng còn lại.

Lời giải chi tiết

a) Một vectơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n_{P}} = (2; 2; - 1)$ , một vectơ pháp tuyến của (Q) là $\vec{n_{Q}} = (2; 2; - 1)$

Suy ra $\vec{n_{P}} = \vec{n_{Q}}$ . Mà $8 \neq 2$ do đó $(P) ∥ (Q)$ .

b) Ta có điểm $A (0; 0; 8)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $d (A, (Q)) = \frac{| - 8 + 2 |}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = 2$ .