Giải bài 5.47 trang 39

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm (Aleft( {2; - 1; - 3} right)); (Bleft( {3;0; - 1} right)) và mặt phẳng (left( P right):x - 3y - z - 5 = 0). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai điểm A, B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (2; - 1; - 3)$ ; $B (3; 0; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : x - 3 y - z - 5 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai điểm A, B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tích có hướng của $\vec{A B}$ và vectơ pháp tuyến của $(P) : x - 3 y - z - 5 = 0$ là một vectơ pháp tuyến của (Q).

Lời giải chi tiết

Ta có $\vec{A B} = (1; 1; 2)$ . Vectơ pháp tuyến của $(P) : x - 3 y - z - 5 = 0$ là $\vec{n} = (1; - 3; - 1)$ .

Do (Q) chứa hai điểm A, B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P) một vectơ pháp tuyến của (Q) là $[\vec{A B}, \vec{n}] = (5; 3; - 4)$ .

Phương trình mặt phẳng (Q) là $5 (x - 3) + 3 y - 4 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 5 x + 3 y - 4 z - 19 = 0$ .