Giải bài 5.6 trang 59

Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn. b) (AH > DE).

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn.

b) $A H > D E$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Gọi I là trung điểm của AB.

+ Chứng minh $I A = I D = I H = I E = \frac{1}{2} A H$ nên bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính AH.

b) Vì góc EAD là góc nhọn nên dây DE là dây không đi qua tâm của đường tròn tâm I đường kính AH nên $A H > D E$ .

Lời giải chi tiết

a) Gọi I là trung điểm của AH.

Vì BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC nên $B D ⊥ A C$ tại D, $C E ⊥ A B$ tại E.

Do đó, tam giác AEH vuông tại E và tam giác ADH vuông tại D.

Tam giác AEH vuông tại E, có EI là đường trung tuyến nên $I A = I E = I H = \frac{1}{2} A H (1)$

Tam giác ADH vuông tại D, có DI là đường trung tuyến nên $I A = I D = I H = \frac{1}{2} A H (2)$

Từ (1) và (2) ta có: $I A = I D = I H = I E = \frac{1}{2} A H$ . Do đó, bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính AH.

b) Vì góc EAD là góc nhọn nên dây DE là dây không đi qua tâm của đường tròn đường kính AH nên $A H > D E$ .