Giải bài 5.7 trang 25

Đề bài

Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+2y+2z-1=0$ và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng $\left(\beta \right):x+2y+2z-3=0$. Hỏi chiều cao của căn phòng có đủ để kê một chiếc tủ có chiều cao bằng 1 hay không?

Lời giải chi tiết

Xét hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ có các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{n_{\beta }}=\left(1;2;2\right)$ và $-1\ne -3$.

Suy ra $\left(\alpha \right)\parallel \left(\beta \right)$ và chiều cao căn phòng là khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$.

Lấy $A\left(1;0;0\right)\in \left(\alpha \right)$. Chiều cao căn phòng là $d\left(\alpha ,\beta \right)=d\left(A,\beta \right)=\frac{\left|1+2\cdot 0+2\cdot 0-3\right|}{\sqrt{1+2^2+2^2}}=\frac{2}{3}$.

Vì $\frac{2}{3}<1$ nên chiều cao của căn phòng không đủ để kê tủ có chiều cao bằng 1.