Giải bài 5.7 trang 25

Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng (α):x+2y+2z−1=0(α):x+2y+2z−1=0\left( \alpha \right):x + 2y + 2z - 1 = 0 và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng (β):x+2y+2z−3=0(β):x+2y+2z−3=0\left( \beta \right):x + 2y + 2z - 3 = 0. Hỏi chiều cao của căn phòng có đủ để kê một chiếc tủ c

Đề bài

Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng $(α) : x + 2 y + 2 z - 1 = 0$ và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng $(β) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ . Hỏi chiều cao của căn phòng có đủ để kê một chiếc tủ có chiều cao bằng 1 hay không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nhận xét thấy hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ song song với nhau. Tìm khoảng cách giữa chúng, sau đó so sánh khoảng cách tìm được với 1 để trả lời câu hỏi về việc kê tủ đề yêu cầu.

Lời giải chi tiết

Xét hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ có các vectơ pháp tuyến $\vec{n_{α}} = \vec{n_{β}} = (1; 2; 2)$ và $- 1 \neq - 3$ .

Suy ra $(α) ∥ (β)$ và chiều cao căn phòng là khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ .

Lấy $A (1; 0; 0) \in (α)$ . Chiều cao căn phòng là $d (α, β) = d (A, β) = \frac{| 1 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 3 |}{\sqrt{1 + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{3}$ .

Vì $\frac{2}{3} < 1$ nên chiều cao của căn phòng không đủ để kê tủ có chiều cao bằng 1.