Giải bài 5.7 trang 59

Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Gọi (O) là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C và E là điểm trên cung nhỏ BC sao cho oversetfrownBE=oversetfrownECoversetfrownBE=oversetfrownECoversetfrown{BE}=oversetfrown{EC}. a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, E thẳng hàng. b) Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Ch

Đề bài

Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Gọi (O) là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C và E là điểm trên cung nhỏ BC sao cho $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{E C}$ .

a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, E thẳng hàng.

b) Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Chứng minh rằng $A H < A B < A E$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh $Δ O A B = Δ O A C (c . c . c)$ . Suy ra $\hat{A O B} = \hat{A O C}$ , suy ra $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A C}$

+ Mà $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{E C}$ . Suy ra: sđ $\overset{⌢}{A B E} = s đ \overset{⌢}{A C E}$ .

+ Vì $s đ \overset{⌢}{A B E} + s đ \overset{⌢}{A C E} = 360^{o}$ nên sđ $\overset{⌢}{A B E} = s đ \overset{⌢}{A C E} = \frac{360^{o}}{2} = 180^{o}$ , suy ra ba điểm A, O, E thẳng hàng.

b) + Vì EA đi qua O nên AE là đường kính của (O), AB là dây không đi qua O nên $A B < A E$ .

+ Tam giác ABH vuông tại H nên AB là cạnh huyền. Do đó, $A H < A B$ .

+ Vậy $A H < A B < A E$ .

Lời giải chi tiết

a) Tam giác OAB và tam giác OAC có: OA chung, $A B = A C, O B = O C$ nên $Δ O A B = Δ O A C (c . c . c)$ .

Suy ra $\hat{A O B} = \hat{A O C}$ .

Mà AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB, AOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ AC. Do đó, $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A C}$

Theo giả thiết, $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{E C}$ . Do đó, sđ $\overset{⌢}{A B} + s đ \overset{⌢}{B E} = s đ \overset{⌢}{E C} + s đ \overset{⌢}{A C}$

Suy ra: sđ $\overset{⌢}{A B E} = s đ \overset{⌢}{A C E}$ . Mà $s đ \overset{⌢}{A B E} + s đ \overset{⌢}{A C E} = 360^{o}$ nên sđ $\overset{⌢}{A B E} = s đ \overset{⌢}{A C E} = \frac{360^{o}}{2} = 180^{o}$

Do đó, cung ABE là nửa đường tròn. Vậy ba điểm A, O, E thẳng hàng.

b) Vì EA đi qua O nên AE là đường kính của (O), AB là dây không đi qua O nên $A B < A E$ .

Tam giác ABH vuông tại H nên AB là cạnh huyền. Do đó, $A H < A B$ .

Vậy $A H < A B < A E$ .