Giải bài 5.8 trang 78

Cho tam giác A1B1C1A1B1C1{A_1}{B_1}{C_1} có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A2B2C2A2B2C2{A_2}{B_2}{C_2}

Đề bài

Cho tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác $A_{2} B_{2} C_{2}$ bằng cách nối các trung điểm của các cạnh $B_{1} C_{1}, C_{1} A_{1}, A_{1} B_{1} .$ Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác $A_{3} B_{3} C_{3}, . . ., A_{n} B_{n} C_{n}, . . .$ Kí hiệu $s_{n}$ là diện tích của tam giác $A_{n} B_{n} C_{n}$ .

a) Tính $s_{n}$ .

b) Tính tổng $s_{1} + s_{2} + . . . + s_{n} + . . .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$ với số hạng đầu tiên là $u_{1}$ , công bội q thì tổng của cấp số nhân đó là: $S = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} + . . . = \frac{u_{1}}{1 - q} (| q | < 1)$

Lời giải chi tiết

a, Theo cách xác định tam giác $A_{2} B_{2} C_{2}$ , ta có: $s_{2} = \frac{1}{4} s_{1} .$

Tương tự như vậy, ta có: $s_{3} = \frac{1}{4} s_{2}, . . ., s_{n} = \frac{1}{4} s_{n - 1}$

Do đó, $s_{n} = {(\frac{1}{4})}^{n - 1} s_{1} = 3. {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

b, Suy ra: $s_{1} + s_{2} + . . . + s_{n} + . . . = \frac{3}{1 - \frac{1}{4}} = 4$