Giải bài 5.9 trang 78
Cho dãy số (un)(un)\left( {{u_n}} \right) với u1=2,un+1=un+23n,n≥1u1=2,un+1=un+23n,n≥1{u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1. Đặt vn=un+1−un.vn=un+1−un.{v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.
Đề bài
Cho dãy số (un)(un) với u1=2,un+1=un+23n,n≥1u1=2,un+1=un+23n,n≥1. Đặt vn=un+1−un.vn=un+1−un.
a) Tính v1+v2+...+vnv1+v2+...+vn theo n.
b) Tính unun theo n.
c) Tìm limn→+∞unlimn→+∞un
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho số lớn nhất, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.
Lời giải chi tiết
Ta có: vn=23n.vn=23n. Do đó, v1+v2+...+vn=2(1−13n+11−13)=3.(1−13n+1)v1+v2+...+vn=2(1−13n+11−13)=3.(1−13n+1)
Mặt khác:
v1+v2+...+vn=(u2−u1)+(u3−u2)+...+(un+1−un)=un+1−u1=un+1−2
Vậy un=3(1−13n)+2
c) limn→+∞un=limn→+∞[3(1−13n)+2]=limn→+∞5.3n−13n=limn→+∞5−13n1=5