Giải bài 5 trang 10

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình h biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(x; y), trong đó

${\begin{cases} x^{'} = \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y \\ y^{'} = \frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y \end{cases}$

Hãy chứng minh h là một phép dời hình.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách (không làm thay đổi khoảng cách) giữa 2 điểm bất kì.

Lời giải chi tiết

Lấy hai điểm bất kì $M (x_{1}; y_{1})$ , $N (x_{2}; y_{2})$ .

Suy ra $M N = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ .

Ta có ảnh của M, N qua phép biến hình h là $M^{'} (\frac{\sqrt{2}}{2} x_{1} - \frac{\sqrt{2}}{2} y_{1}; \frac{\sqrt{2}}{2} x_{1} + \frac{\sqrt{2}}{2} y_{1})$ , $N^{'} (\frac{\sqrt{2}}{2} x_{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} y_{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} x_{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} y_{2})$ .

Khi đó

$M^{'} N^{'} = \sqrt{{(\frac{\sqrt{2}}{2} x_{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} y_{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} x_{1} + \frac{\sqrt{2}}{2} y_{1})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2} x_{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} y_{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} x_{1} - \frac{\sqrt{2}}{2} y_{1})}^{2}}$

$= \sqrt{\frac{1}{2} {(x_{2} - y_{2} - x_{1} + y_{1})}^{2} + \frac{1}{2} {(x_{2} + y_{2} - x_{1} - y_{1})}^{2}}$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{{(x_{2} - x_{1} - y_{2} + y_{1})}^{2} + {(x_{2} - x_{1} + y_{2} - y_{1})}^{2}}$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{{[(x_{2} - x_{1}) - (y_{2} - y_{1})]}^{2} + {[(x_{2} - x_{1}) + (y_{2} - y_{1})]}^{2}}$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} - 2 (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(x_{2} - x_{1})}^{2} + 2 (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{2 {(x_{2} - x_{1})}^{2} + 2 {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{2 [{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}]}$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} . \sqrt{2} \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

$= \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

$= M N$ .

Vậy h là một phép dời hình.