Giải bài 5 trang 10

Đề bài

Tìm $m$ để

a) Hàm số $y=\frac{2x+m}{x-1}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.

b) Hàm số $y=\frac{-x^2+3x+m}{x+2}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D=R\setminus \left\{1\right\}$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{-2-m}{{\left(x-1\right)}^2}$.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi $y^{\prime }=\frac{-2-m}{{\left(x-1\right)}^2}>0,\forall x\in R\setminus \left\{1\right\}$.

$\iff -2-m>0\iff m<-2$.

b) Tập xác định: $D=R\setminus \left\{-2\right\}$.

Ta có

$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=\frac{{\left(-x^2+3x+m\right)}^{\prime }\left(x+2\right)-\left(-x^2+3x+m\right){\left(x+2\right)}^{\prime }}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{\left(-2x+3\right)\left(x+2\right)-\left(-x^2+3x+m\right)}{{\left(x+2\right)}^2}\\ =\frac{-x^2-4x-m+6}{{\left(x+2\right)}^2}\end{array}$

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi $y^{\prime }=\frac{-x^2-4x-m+6}{{\left(x+2\right)}^2}\le 0,\forall x\in R\setminus \left\{-2\right\}$.

$\begin{array}{c}\iff -x^2-4x-m+6\le 0,\forall x\in R\setminus \left\{-2\right\}\\ \iff \{\begin{array}{c}a=-1<0\\ {\Delta }^{\prime }={\left(-2\right)}^2-\left(-1\right).\left(-m+6\right)\le 0\end{array}\\ \iff -m+10\le 0\iff m\ge 10\end{array}$