Giải bài 5 trang 103

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác MNP có M(2;1),N(−1;3),P(4;2)M(2;1),N(−1;3),P(4;2)M\left( {2;1} \right),N\left( { - 1;3} \right),P\left( {4;2} \right) a) Tìm tọa độ của các vectơ −−→OM,−−−→MN,−−→MPOM→,MN→,MP→\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} b) Tính tích vô hướ

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác MNP có $M (2; 1), N (- 1; 3), P (4; 2)$ .

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{O M}, \vec{M N}, \vec{M P}$ .

b) Tính tích vô hướng $\vec{M N} . \vec{M P}$ .

c) Tính độ dài các đoạn thẳng $M N, M P$ .

d) Tính $\cos \hat{M N P}$ .

e) Tìm tọa độ trung điểm I của NP và trọn tâm G của tam giác MNP.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .

b) Với hai vectơ $\vec{u} = (x_{1}, y_{1})$ , $\vec{v} = (x_{2}, y_{2})$ đều khác vectơ không, ta có: $\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}$ .

c) Nếu $\vec{a} = (x; y) \Rightarrow | \vec{a} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

d) Ta có: $\cos (d_{1}, d_{2}) = | \cos (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) |$

$= | \frac{\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}}{| \vec{u_{1}} | | \vec{u_{2}} |} | = \frac{x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} . \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ .

e) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là: $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ .

Tìm trọng tâm của hai tam giác bằng công thức tính trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC thì tọa độ G là: $G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{O M} = (2; 1)$ , $\vec{M N} = (- 3; 2)$ , $\vec{M P} = (2; 1)$ .

b) Ta có: $\vec{M N} . \vec{M P} = - 3.2 + 2.1 = - 4$ .

c) Ta có: $M N = | \vec{M N} | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13}$ , $M P = | \vec{M P} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$ .

d) Ta có: $\cos \hat{M N P} = \frac{\vec{M N} . \vec{M P}}{| \vec{M N} | . | \vec{M P} |}$

$= \frac{- 4}{\sqrt{13} . \sqrt{5}} = \frac{- 4}{\sqrt{65}}$ .

e) Tọa độ trung điểm I của đoạn NP là:

${\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{N} + x_{P}}{2} = \frac{3}{2} \\ y_{I} = \frac{y_{N} + y_{P}}{2} = \frac{5}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow I (\frac{3}{2}; \frac{5}{2})$ .

Tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP là:

${\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{M} + x_{N} + x_{P}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{M} + y_{N} + y_{P}}{3} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{G} = \frac{5}{3} \\ y_{C} = 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow G (\frac{5}{3}; 2)$ .