Giải bài 5 trang 104, 105 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như hình bên. Phép quay ngược chiều ${60}^o$ tâm O biến các điểm A, B, C lần lượt thành các điểm D, E, F. Chứng minh rằng ADBECF là một lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Theo hình vẽ, ta thấy $ADBECF$ là lục giác lồi và nội tiếp đường tròn $\left(O,R\right).$

Ta có $\widehat{AOD}={60}^o,\widehat{DOB}=\widehat{AOB}-\widehat{AOD}=2\widehat{ACB}-\widehat{AOD}={60}^o.$ Do đó các tam giác cân $AOD,DOB$ là các tam giác đều. Suy ra $AD=DB=OD=R.$

Tương tự, ta suy ra: $AD=DB=BE=EC=CF=FA=R.$

Như vậy ta được lục giác lồi $ADBECF$ có các cạnh bằng nhau và nội tiếp đường tròn $\left(O\right).$

Mặt khác, tương tự như trên ta có $\text{sđ}\stackrel{⌢}{AOD}=\text{sđ}\stackrel{⌢}{DOB}=\text{sđ}\stackrel{⌢}{BOE}=\text{sđ}\stackrel{⌢}{EOC}=\text{sđ}\stackrel{⌢}{COF}=\text{sđ}\stackrel{⌢}{FOA}={60}^{\text{o}}.$

Do đó các góc của lục giác này là các góc nội tiếp của $\left(O\right)$ chắn cung có số đo bằng $\frac{4}{6}\cdot {360}^o.$

Vậy các góc của lục giác $ADBECF$ bằng nhau và bằng $\frac{4}{12}\cdot {360}^o={120}^o.$ Vậy $ADBECF$ là lục giác đều.