Giải bài 5 trang 114, 115 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với dường tròn tâm O; B, C là các tiếp điểm.

a) Chứng minh AO là đường trung trực của BC.

b) Kẻ đường kính CD. Chứng minh BD song song với AO.

c) Kẻ OM vuông góc với OB (M thuộc AC). Chứng minh $M O = M A$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh $A B = A C$ nên A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

+ Chứng minh $O B = O C$ nên O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

+ Do đó, OA là trung trực của BC

b) Chứng minh tam giác BCD vuông tại B, suy ra $B D ⊥ B C$ . Mà $A O ⊥ B C$ nên BD // AO.

c) + Chứng minh $\hat{M O A} + \hat{A O B} = 90^{o}$ , $\hat{M A O} = \hat{B A O}$ , $\hat{M A O} + \hat{B O A} = 90^{o}$ nên $\hat{M O A} = \hat{M A O}$ .

+ Chứng minh $Δ A M O$ cân tại M nên $M O = M A$ .

Lời giải chi tiết

(H.5.32)

a) Xét hai tiếp tuyến AB, AC của (O) cắt nhau tại A, ta có $A B = A C$ nên A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC. Mặt khác, $O B = O C$ (cùng bằng bán kính). Do đó O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy OA là đường trung trực của BC.

b) Xét tam giác BCD có BO là đường trung tuyến, $B O = \frac{1}{2} C D$ , suy ra tam giác CBD vuông tại B, hay $B D ⊥ B C$ . Mặt khác $A O ⊥ B C$ (do AO là đường trung trực của BC)

Từ đó suy ra BD song song với AO.

c) Theo giả thiết, ta có $O M ⊥ O B$ , suy ra $\hat{M O A} + \hat{A O B} = 90^{o}$ . (1)

Ta có $\hat{M A O} = \hat{B A O}$ (do A là giao điểm của hai tiếp tuyến của (O))

Vì AB là tiếp tuyến của (O) nên $A B ⊥ O B$ . Do đó, $\hat{O A B} + \hat{A O B} = 90^{o}$ , suy ra $\hat{M A O} + \hat{B O A} = 90^{o}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\hat{M O A} = \hat{M A O}$ , do đó $Δ A M O$ cân tại M nên $M O = M A$ .