Giải bài 5 trang 17

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) (y = sqrt { - {x^2} + 9} ); b) (y = frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2{rm{x}} + 10}}).

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{- x^{2} + 9}$ ;

b) $y = \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 10}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ :

Bước 1. Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ thuộc khoảng $(a; b)$ mà tại đó $f^{'} (x)$ bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính $f (a); f (x_{1}); f (x_{2}); . . .; f (x_{n}); f (b)$ .

Bước 3. Gọi $M$ là số lớn nhất và $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M = max_{[a; b]} f (x), m = min_{[a; b]} f (x)$ .

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = [- 3; 3]$ .

Xét hàm số $y = f (x) = \sqrt{- x^{2} + 9}$ trên đoạn $[- 3; 3]$ .

Ta có: $f^{'} (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{'}}{2 \sqrt{- x^{2} + 9}} = \frac{- 2 x}{2 \sqrt{- x^{2} + 9}} = \frac{- x}{\sqrt{- x^{2} + 9}}$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

$f (- 3) = 0; f (0) = 3; f (3) = 0$

Vậy $max_{[- 3; 3]} f (x) = f (0) = 3, min_{[- 3; 3]} f (x) = f (3) = f (- 3) = 0$ .

b) Tập xác định: $D = R$ .

Xét hàm số $y = f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 10}$ trên $R$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \frac{{(x + 1)}^{'} (x^{2} + 2 x + 10) - (x + 1) {(x^{2} + 2 x + 10)}^{'}}{{(x^{2} + 2 x + 10)}^{2}} \\ = \frac{(x^{2} + 2 x + 10) - (x + 1) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x + 10)}^{2}} = \frac{- x^{2} - 2 x + 8}{{(x^{2} + 2 x + 10)}^{2}} \end{array}$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = - 4$ .

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max f (x) = f (2) = \frac{1}{6}, min f (x) = f (- 4) = - \frac{1}{6}$ .