Giải bài 5 trang 17

Đề bài

a) Chứng minh rằng biểu thức $P=5x\left(2-x\right)-\left(x+1\right)\left(x+9\right)$ luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Chứng minh rằng biểu thức $Q=3x^2+x\left(x-4y\right)-2x\left(6-2y\right)+12x+1$ luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{c}P=5x\left(2-x\right)-\left(x+1\right)\left(x+9\right)\\ P=5x.2-5x.x-x.x-x.9-1.x-1.9\\ P=10x-5x^2-x^2-9x-x-9\\ P=-\left(6x^2+9\right)\end{array}$

Vì $6x^2\ge 0,\forall x\in R$ nên $6x^2+9\ge 9,\forall x\in R$ suy ra $-\left(6x^2+9\right)\le -9<0,\forall x\in R$

Vậy P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Ta có:

$\begin{array}{c}Q=3x^2+x\left(x-4y\right)-2x\left(6-2y\right)+12x+1\\ Q=3x^2+x.x-x.4y-2x.6-2x.\left(-2y\right)+12x+1\\ Q=3x^2+x^2-4xy-12x+4xy+12x+1\\ Q=4x^2+1\end{array}$

Vì $4x^2\ge 0,\forall x\in R$ nên $4x^2+1\ge 1>0,\forall x\in R$

Vậy Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x, y.