Giải bài 5 trang 19

Khoảng cách từ nhà An ở vị trí N đến cột điện C là 10 m. Từ nhà, An đi x mét theo phương tạo với NC một góc 60∘60∘60^\circ đến vị trí A sau đó đi tiếp 3 m đến vị trí B như hình 1.

Đề bài

Khoảng cách từ nhà An ở vị trí N đến cột điện C là 10 m. Từ nhà, An đi x mét theo phương tạo với NC một góc $60^{\circ}$ đến vị trí A sau đó đi tiếp 3 m đến vị trí B như hình 1.

a) Biểu diễn khoảng cách AC và BC theo x

b) Tìm x để $A C = \frac{8}{9} B C$

c) Tìm x để khoảng cách $B C = 2 A N$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

_{a) Sử dụng định lí côsin} $a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A}$

_{b) Lập phương trình dựa vào kết quả của câu a) và giải phương trình}

_{c) Lập phương liên quan và giải phương trình}

Lời giải chi tiết

_{a) Áp dụng đính lí côsin trong tam giác ANC ta có:}

$\begin{array}{l} A C = \sqrt{A N^{2} + N C^{2} - 2 A N . N C . \cos \hat{N}} = \sqrt{x^{2} + 10^{2} - 2 x .10 . \cos 60^{\circ}} \\ = \sqrt{x^{2} - 10 x + 100} \end{array}$

_{Áp dụng đính lí côsin trong tam giác BNC ta có:}

$\begin{array}{l} B C = \sqrt{B N^{2} + N C^{2} - 2 B N . N C . \cos \hat{N}} = \sqrt{{(x + 3)}^{2} + 10^{2} - 2 (x + 3) .10 . \cos 60^{\circ}} \\ = \sqrt{x^{2} - 4 x + 79} \end{array}$

_{b) Ta có:} $A C = \frac{8}{9} B C$ _hay

$\begin{array}{l} \sqrt{x^{2} - 10 x + 100} = \frac{8}{9} \sqrt{x^{2} - 4 x + 79} \\ \Rightarrow x^{2} - 10 x + 100 = \frac{64}{81} (x^{2} - 4 x + 79) \\ \Rightarrow \frac{17}{81} x^{2} - \frac{554}{81} x + \frac{3044}{81} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow x ≃ 7$ _hoặc $x ≃ 25, 6$

_{Thay hai giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn}

_{Vậy khi} $x ≃ 7$ _hoặc $x ≃ 25, 6$ _thì $A C = \frac{8}{9} B C$

_{c) Yêu cầu bài toán tương đương}

$\begin{array}{l} \sqrt{x^{2} - 4 x + 79} = 2 x \\ \Rightarrow x^{2} - 4 x + 79 = 4 x^{2} \\ \Rightarrow 3 x^{2} + 4 x - 79 = 0 \end{array}$

$\Rightarrow x = \frac{- 2 - \sqrt{241}}{3}$ _hoặc $x = \frac{- 2 + \sqrt{241}}{3}$

_{Mà vì} $x \geq 0$ _nên $x = \frac{- 2 + \sqrt{241}}{3}$

_{Vậy khi} $x = \frac{- 2 + \sqrt{241}}{3}$ _thì $B C = 2 A N$