Giải bài 5 trang 29

Đề bài

Chứng minh với mọi $n\in N^{\ast }$, ta có:

a) ${13}^n-1$ chia hết cho 6.

b) $4^n+15n-1$ chia hết cho 9.

Lời giải chi tiết

a)

Bước 1: Khi $n=1$ ta có ${13}^1-1=12$ chia hết cho 6.

Vậy mệnh đề đúng với $n=1$.

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k + 1, tức là:

${13}^{k+1}-1$ chia hết cho 6.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${13}^k-1$ chia hết cho 6.

Cần chứng minh mệnh đề trên đúng với k + 1. Ta có:

${13}^{k+1}-1={13.13}^k-1=13.\underset{⋮6}{\underset{}{\left({13}^k-1\right)}}+\underset{⋮6}{\underset{}{12}}$ chia hết cho 6.

Vậy mệnh đề đúng với k + 1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi $n\in N^{\ast }$.

b)

Bước 1: Khi $n=1$ ta có $4^1+15.1-1=18$ chia hết cho 9.

Vậy mệnh đề đúng với $n=1$.

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k + 1, tức là:

$4^{k+1}+15.(k+1)-1$ chia hết cho 9.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$4^k+15k-1$ chia hết cho 9.

Cần chứng minh mệnh đề trên đúng với k + 1. Ta có:

$4^{k+1}+15.(k+1)-1={4.4}^k+15k+14=4\underset{⋮9}{\underset{}{\left(4^k+15k-1\right)}}-\underset{⋮9}{\underset{}{45k}}+\underset{⋮9}{\underset{}{18}}$ chia hết cho 9.

Vậy mệnh đề đúng với k + 1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi $n\in N^{\ast }$.