Giải bài 5 trang 31

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = 3 + frac{1}{x}); b) (y = 2 - frac{1}{{1 + x}}).

Đề bài

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = 3 + \frac{1}{x}$ ;

b) $y = 2 - \frac{1}{1 + x}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sơ đồ khảo sát hàm số:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

‒ Tìm đạo hàm $y^{'}$ , xét dấu $y^{'}$ , xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

‒ Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số

‒ Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm),…

‒ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

‒ Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết

1. Tập xác định: $D = R ∖ {0}$ .

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ . Vì $y^{'} < 0$ với mọi $x \neq 0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 0)$ và $(0; + \infty)$ .

• Tiệm cận:

Ta có: $lim_{x \to 0^{-}} y = lim_{x \to 0^{-}} (3 + \frac{1}{x}) = - \infty; lim_{x \to 0^{+}} y = lim_{x \to 0^{+}} (3 + \frac{1}{x}) = + \infty$

Vậy $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (3 + \frac{1}{x}) = 3; lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (3 + \frac{1}{x}) = 3$

Vậy $y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Vậy đồ thị hàm số giao với trục $O x$ tại điểm $(- \frac{1}{3}; 0)$ , đồ thị hàm số không có giao điểm với trục $O y$ .

Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I (0; 3)$ .

b) $y = 2 - \frac{1}{1 + x}$

1. Tập xác định: $D = R ∖ {- 1}$ .

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y^{'} = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$ . Vì $y^{'} > 0$ với mọi $x \neq - 1$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ .

• Tiệm cận:

Ta có: $lim_{x \to - 1^{-}} y = lim_{x \to - 1^{-}} (2 - \frac{1}{1 + x}) = + \infty; lim_{x \to - 1^{+}} y = lim_{x \to - 1^{+}} (2 - \frac{1}{1 + x}) = - \infty$

Vậy $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (2 - \frac{1}{1 + x}) = 2; lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (2 - \frac{1}{1 + x}) = 2$

Vậy $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Vậy đồ thị hàm số giao với trục $O x$ tại điểm $(- \frac{1}{2}; 0)$ , số giao với trục $O y$ tại điểm $(0; 1)$ .

Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I (- 1; 2)$ .