Giải bài 5 trang 35

Cho (x,y,z) là các số thực tùy ý. Chứng minh: (begin{array}{l}a){x^2} + {y^2} ge -2xy\b){x^2} + {y^2} + {z^2} ge xy + yz + zx\c)3left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} right) ge {left( {x + y + z} right)^2}end{array})

Đề bài

Cho $x, y, z$ là các số thực tùy ý. Chứng minh:

$\begin{array}{l} a) x^{2} + y^{2} \geq - 2 x y \\ b) x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x \\ c) 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq {(x + y + z)}^{2} \end{array}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng tính chất của hằng đẳng thức: ${(x + y)}^{2} \geq 0$

b) Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức ${(x - y)}^{2} \geq 0; {(y - z)}^{2} \geq 0; {(z - x)}^{2} \geq 0$ .

c) Xét hiệu $3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - {(x + y + z)}^{2}$ .

Lời giải chi tiết

a) Do ${(x + y)}^{2} \geq 0 \forall x, y \in R$ nên $x^{2} + 2 x y + y^{2} \geq 0$ hay $x^{2} + y^{2} \geq - 2 x y$ .

b) Với $x, y, z$ là các số thực tùy ý ta có:

${(x - y)}^{2} \geq 0; {(y - z)}^{2} \geq 0; {(z - x)}^{2} \geq 0$ .

Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên, ta được:

${(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2} \geq 0$

$x^{2} - 2 x y + y^{2} + y^{2} - 2 y z + z^{2} + z^{2} - 2 x z + x^{2} \geq 0$

$2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2 (x y + y z + x z)$

Vậy $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x$

c) Xét hiệu

$\begin{array}{l} 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - {(x + y + z)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2} - 2 x y - 2 y z - 2 z x \\ = (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + (y^{2} - 2 y z + z^{2}) + (x^{2} - 2 z x + z^{2}) = {(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2} \end{array}$

Do ${(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2} \geq 0$ nên $3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - {(x + y + z)}^{2}$

hay $3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq {(x + y + z)}^{2}$ .