Giải bài 5 trang 36

Đề bài

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2+2x-m}{x-1}$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị.

Lời giải chi tiết

Tập xác định: $D=R\setminus \left\{1\right\}$.

Đạo hàm

$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=\frac{{\left(x^2+2x-m\right)}^{\prime }\left(x-1\right)-\left(x^2+2x-m\right){\left(x-1\right)}^{\prime }}{{\left(x-1\right)}^2}\\ =\frac{\left(2x+2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2+2x-m\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x+m-2}{{\left(x-1\right)}^2}\end{array}$

Để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức là phương trình $x^2-2x+m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Khi đó: $\{\begin{array}{c}{\Delta }^{\prime }={\left(-1\right)}^2-\left(m-2\right)>0\\ 1^2-2.1+m-2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}3-m>0\\ m-3\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m<3\\ m\ne 3\end{array}\iff m<3$.

Vậy với $m<3$ thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.