Giải bài 5 trang 40

Đề bài

Với một bình rỗng có dung tích 2l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:

Bước 1: Rót 1l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng lước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện bước 3, 4, …

Kí hiệu $a_n$ là lượng nước có tron bình sau bước n $(n\in N\ast )$

a) Tính $a_1,a_2,a_3$. Từ đó dự đoán công thức tính $a_n$ với $n\in N\ast$

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a)

  $\begin{array}{c}{a}_1=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{2^1+1}{2^1};\\ a_2=\frac{\frac{3}{2}+1}{2}=\frac{5}{4}=\frac{2^2+1}{2^2};\\ a_3=\frac{\frac{5}{4}+1}{2}=\frac{9}{8}=\frac{2^3+1}{2^3}\end{array}$.

Từ đó ta dự đoán $a_n=\frac{2^n+1}{2^n}$ với $n\in N\ast$

b)

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n=1$ ta có $a_1=\frac{2^1+1}{2^1}$

Như vậy công thức đúng cho trường hợp $n=1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, nghĩa là có: $a_k=\frac{2^k+1}{2^k}$

Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n=k+1$, nghĩa là cần chứng minh $a_{k+1}=\frac{2^{k+1}+1}{2^{k+1}}$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

$a_{k+1}=\frac{a_k+1}{2}=\frac{\frac{2^k+1}{2^k}+1}{2}=\frac{\frac{2^k+1+2^k}{2^k}}{2}=\frac{{2.2}^k+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}+1}{2^{k+1}}$

Vậy công thức đúng với $n=k+1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi $n\in N\ast$.