Giải bài 5 trang 46

Cho hai mặt phẳng (P):2x+y+2z+12=0,(Q):4x+2y+4z−6=0(P):2x+y+2z+12=0,(Q):4x+2y+4z−6=0\left( P \right):2x + y + 2z + 12 = 0,\left( Q \right):4x + 2y + 4z - 6 = 0. a) Chứng minh (P)∥(Q)(P)∥(Q)\left( P \right)\parallel \left( Q \right). b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P)(P)\left( P \right) và (Q

Đề bài

Cho hai mặt phẳng $(P) : 2 x + y + 2 z + 12 = 0, (Q) : 4 x + 2 y + 4 z - 6 = 0$ .

a) Chứng minh $(P) ∥ (Q)$ .

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cho hai mặt phẳng $(α_{1}) : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ và $(α_{2}) : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1}; C_{1}), \vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2}; C_{2})$ .

Khi đó $(α_{1}) ∥ (α_{2}) \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{n_{1}} = k \vec{n_{2}} \\ D_{1} \neq k D_{2} \end{cases} (k \in R)$

‒ Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta đưa về tính khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng còn lại.

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{1}} = (2; 1; 2)$ , mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{2}} = (4; 2; 4)$ .

Ta có: $\vec{n_{1}} = \frac{1}{2} \vec{n_{2}}$ và $12 \neq \frac{1}{2} . (- 6)$ nên $(P) ∥ (Q)$ .

b) Lấy điểm $A (0; 0; - 6) \in (P)$ . Khi đó ta có:

$d ((P); (Q)) = d (A; (Q)) = \frac{| 4.0 + 2.0 + 4. (- 6) - 6 |}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 4^{2}}} = 5$ .