Giải bài 5 trang 54

Cho tam giác

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ nhọn. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $A B; A C; B C$ . Kẻ đường cao $A H$ . Chứng minh rằng tứ giác $M N P H$ là hình thang cân.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm của tam giác.

- Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

- Để chứng minh hình thang cân ta sẽ chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau hoặc hai góc kề một đáy bằng nhau.

- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.

Lời giải chi tiết

- Vì $M$ là trung điểm của $A B; N$ là trung điểm của $A C$ nên $M N$ là đường trung bình của tam giác $A B C$ . Do đó, $M N / / B C$ (tính chất đường trung bình).

$\Rightarrow M N / / H P (H; P \in B C)$

Xét tứ giác $M N P H$ có: $M N / / H P \Rightarrow$ tứ giác $M N P H$ là hình thang.

- Vì $M$ là trung điểm của $A B; P$ là trung điểm của $B C$ nên $M P$ là đường trung bình của tam giác $A B C$ . Do đó, $M P = \frac{1}{2} A C$ (tính chất đường trung bình) (1).

- Xét tam giác $A H C$ vuông tại $H$ có:

$N$ là trung điểm của $A C$ nên $H N = \frac{1}{2} A C$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (2).

Từ (1) và (2) suy ra $M P = H N$ .

Xét hình thang $M N P H$ có: $M P = H N$ (chứng minh trên).

Do đó, hình thang $M N P H$ là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).