Giải bài 5 trang 55

Đề bài

Tính góc $α$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $α$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a} = (1; 1; - 1)$ và $\vec{b} = (5; 2; 7)$ ;

b) $α$ là góc giữa hai đường thẳng $d : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - \sqrt{3} t \\ z = 5 \end{cases}$ và $d^{'} : {\begin{cases} x = 1 - \sqrt{3} t^{'} \\ y = 7 + t^{'} \\ z = 9 \end{cases}$ .

c) $α$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P) : 4 x + 2 y - z + 9 = 0$ và $(Q) : x + y + 6 z - 11 = 0$ ;

d) $α$ là góc giữa đường thẳng $d : \frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P) : x + y - z + 99 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó ta có:

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

‒ Đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó ta có:

$\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | . | \vec{n} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

‒ Hai mặt phẳng $(P_{1})$ và $(P_{2})$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1}; C_{1}),$ $\vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2}; C_{2})$ . Khi đó ta có:

$\cos ((P_{1}), (P_{2})) = \frac{| A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} |}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} . \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) $\cos α = \cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{1.5 + 1.2 + (- 1) .7}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{5^{2} + 2^{2} + 7^{2}}} = 0$ .

Vậy $α = 90^{\circ}$ .

b) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; - \sqrt{3}; 0)$ .

Đường thẳng $d^{'}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u^{'}} = (- \sqrt{3}; 1; 0)$ .

Ta có: $\cos α = \cos (d, d^{'}) = \frac{| 1. (- \sqrt{3}) + (- \sqrt{3}) .1 + 0.0 |}{\sqrt{1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2} + 0^{2}} . \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $α = 30^{\circ}$ .

c) Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (4; 2; - 1)$ .

Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n^{'}} = (1; 1; 6)$ .

Ta có: $\cos α = \cos ((P), (Q)) = \frac{| 4.1 + 2.1 + (- 1) .6 |}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 6^{2}}} = 0$ .

Vậy $α = 90^{\circ}$ .

d) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; - 1; 1)$ .

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 1; - 1)$ .

Ta có: $\sin α = \sin (d, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| 2.1 + (- 1) .1 + 1. (- 1) |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 0$ .

Vậy $α = 0^{\circ}$ .