Giải bài 5 trang 60

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{D{A}^{\prime }}$ bằng:

A. ${30}^{\circ }$

B. ${45}^{\circ }$

C. ${120}^{\circ }$

D. ${60}^{\circ }$

Lời giải chi tiết

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=-\left|\overrightarrow{CA}\right|.\left|\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\right|.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\right)=-AC.A^{\prime }D.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\right)$

Ta có: $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{A}^{\prime }}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\right)=\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{C{B}^{\prime }}\right)=\widehat{AC{B}^{\prime }}$.

Xét tam giác $AC{B}^{\prime }$ có $AC,A{B}^{\prime },B^{\prime }C$ đều là các đường chéo của các hình vuông là các mặt của hình lập phương.

Do đó $AC=A{B}^{\prime }=B^{\prime }C$. Vậy tam giác $AC{B}^{\prime }$ đều.

Suy ra $\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\right)=\widehat{AC{B}^{\prime }}={60}^{\circ }$.

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=-AC.A^{\prime }D.\cos {60}^{\circ }=-\frac{1}{2}AC.A^{\prime }D$.

Ta có: $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\right)=\frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{D{A}^{\prime }}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\right|}=\frac{-\frac{1}{2}AC.A^{\prime }D}{AC.A^{\prime }D}=-\frac{1}{2}$.

Vậy $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\right)={120}^{\circ }$.

Chọn C.