Giải bài 5 trang 60

Đề bài

Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian $O x y z$ bằng phần mềm 3D.

Biết phương trình mặt cầu là

$(S) : {(x - 24)}^{2} + {(y - 24)}^{2} + {(z - 24)}^{2} = 100$ (đơn vị cm)

và phương trình đường thẳng trục xoay là

$d : \frac{x - 24}{1} = \frac{y - 24}{1} = \frac{z - 24}{3, 25}$ .

a) Tìm toạ độ giao điểm của $d$ và $(S)$ .

b) Tính số đo góc giữa $d$ và trục $O z$ . Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Viết phương trình đường thẳng $d$ theo tham số $t$ rồi thay vào phương trình mặt cầu $(S)$ để tìm $t$ , sau đó tìm toạ độ giao điểm.

‒ Hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó ta có:

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $d : {\begin{cases} x = 24 + t \\ y = 24 + t \\ z = 24 + 3, 25 t \end{cases}$

Điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt cầu $(S)$ nên điểm $M$ nằm trên đường thẳng $d$ . Vậy điểm $M$ có toạ độ là: $M (24 + t; 24 + t; 24 + 3, 25 t)$

Điểm $M$ nằm trên mặt cầu nên ta có:

${(24 + t - 24)}^{2} + {(24 + t - 24)}^{2} + {(24 + 3, 25 t - 24)}^{2} = 100 \Leftrightarrow \frac{201}{16} t^{2} = 100 \Leftrightarrow t^{2} = \frac{1600}{201}$ .

$\Leftrightarrow t = \frac{40}{\sqrt{201}}$ hoặc $t = - \frac{40}{\sqrt{201}}$ .

Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt cầu $(S)$ là:

$M (24 + \frac{40}{\sqrt{201}}; 24 + \frac{40}{\sqrt{201}}; 24 + \frac{130}{\sqrt{201}})$ và $N (24 - \frac{40}{\sqrt{201}}; 24 - \frac{40}{\sqrt{201}}; 24 - \frac{130}{\sqrt{201}})$ .

b) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 1; 3, 25)$ .

Trục $O z$ có vectơ chỉ phương $\vec{k} = (0; 0; 1)$ .

Ta có: $\cos (d, O z) = \frac{| 1.0 + 1.0 + 3, 25.1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {3, 25}^{2}} . \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} \approx 0, 917$ .

Vậy $α \approx 23, 5^{\circ}$ .