Giải bài 5 trang 60

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho $A M = A N .$ Chứng minh tứ giác MNBC là hình thang cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho $A M = A N .$ Chứng minh tứ giác MNBC là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC cân tại A nên $A B = A C$ và $\hat{B_{1}} = \hat{A C B}$ , mà $\hat{B_{1}} + \hat{A C B} + \hat{A_{1}} = 180^{0}$ . Do đó, $\hat{B_{1}} = \frac{180^{0} - \hat{A_{1}}}{2}$ (1)

Vì $A M = A N (g t)$ nên tam giác AMN cân tại A.

Do đó, $\hat{M_{1}} = \hat{A N M}$ , mà $\hat{M_{1}} + \hat{A N M} + \hat{A_{2}} = 180^{0}$

Do đó, $\hat{M_{1}} = \frac{180^{0} - \hat{A_{2}}}{2}$ (2)

Lại có: $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\hat{B_{1}} = \hat{M_{1}}$ , mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN//BC. Do đó, tứ giác MNBC là hình thang (5).

Ta có: $A M = A N (g t)$ , $A B = A C$ (cmt) nên $A M + A B = A N + A C$ , suy ra $B M = C N$ (6)

Từ (5) và (6) ta có: Tứ giác MNBC là hình thang cân.