Giải bài 5 trang 60

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho AM=AN.AM=AN.AM = AN. Chứng minh tứ giác MNBC là hình thang cân.

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho $A M = A N .$ Chứng minh tứ giác MNBC là hình thang cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho $A M = A N .$ Chứng minh tứ giác MNBC là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC cân tại A nên $A B = A C$ và $\hat{B_{1}} = \hat{A C B}$ , mà $\hat{B_{1}} + \hat{A C B} + \hat{A_{1}} = 180^{0}$ . Do đó, $\hat{B_{1}} = \frac{180^{0} - \hat{A_{1}}}{2}$ (1)

Vì $A M = A N (g t)$ nên tam giác AMN cân tại A.

Do đó, $\hat{M_{1}} = \hat{A N M}$ , mà $\hat{M_{1}} + \hat{A N M} + \hat{A_{2}} = 180^{0}$

Do đó, $\hat{M_{1}} = \frac{180^{0} - \hat{A_{2}}}{2}$ (2)

Lại có: $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\hat{B_{1}} = \hat{M_{1}}$ , mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN//BC. Do đó, tứ giác MNBC là hình thang (5).

Ta có: $A M = A N (g t)$ , $A B = A C$ (cmt) nên $A M + A B = A N + A C$ , suy ra $B M = C N$ (6)

Từ (5) và (6) ta có: Tứ giác MNBC là hình thang cân.