Giải bài 5 trang 63

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $O,O^{\prime }$lần lượt là tâm của các hình vuông $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$; $I$ là giao điểm của $A{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }C$. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+\overrightarrow{O{C}^{\prime }}+\overrightarrow{O{D}^{\prime }}=4\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$;

b) $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=2\overrightarrow{DI}$.

Lời giải chi tiết

a) $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+\overrightarrow{O{C}^{\prime }}+\overrightarrow{O{D}^{\prime }}=\left(\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+\overrightarrow{O{C}^{\prime }}\right)+\left(\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+\overrightarrow{O{D}^{\prime }}\right)=2\overrightarrow{O{O}^{\prime }}+2\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=4\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$

b) Ta có: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel CD,A^{\prime }{B}^{\prime }=CD$

Suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }CD$ là hình bình hành.

Do đó $A^{\prime }C$ và $B^{\prime }D$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Vì $I$ là trung điểm của $A^{\prime }C$ nên $I$ là trung điểm của $B^{\prime }D$.

Suy ra $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=2\overrightarrow{DI}$.