Giải bài 5 trang 63

Đề bài

Cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$ .

a) Chứng tỏ rằng điểm $M (4; 6)$ thuộc đường tròn $(C)$ .

b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M (4; 6)$ .

c) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $4 x + 3 y + 2022 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn.

+) Nếu biểu thức đó bằng 0 thì M thuộc đường tròn.

+) Nếu biểu thức khác 0 thì M không thuộc đường tròn.

b) Phương trình tiếp tuyến của đường trong tâm $I (a; b)$ tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ nằm trên đường tròn là: $(a - x_{0}) (x - x_{0}) + (b - y_{0}) (y - y_{0}) = 0$ .

c) Bước 1: Xác định pt tổng quát của tiếp tuyến (biết hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng vecto pháp tuyến).

Bước 2: Xác định tiếp tuyến (biết khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính).

Lời giải chi tiết

a) Thay điểm $M (4; 6)$ vào phương trình đường tròn $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$ ta có:

$4^{2} + 6^{2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0$ .

Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (C).

b) Đường tròn có tâm $I (1; 2)$ .

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $M (4; 6)$ là:

$(1 - 4) (x - 4) + (2 - 6) (y - 6) = 0$

$\Leftrightarrow 3 x + 4 y - 36 = 0$ .

c) Tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng $4 x + 3 y + 2022 = 0$ nên phương trình có dạng $d : 4 x + 3 y + c = 0$ .

Ta có tâm và bán kính của đường tròn là: $I (1; 2)$ , $r = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 20} = 5$ .

Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính nên:

$d (I, d) = \frac{| 4.1 + 3.2 + c |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 5$

$\Leftrightarrow | 10 + c | = 25 \Rightarrow [\begin{array}{l} c = 15 \\ c = - 35 \end{array}$ .

Vậy đường tròn (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng $4 x + 3 y + 2022 = 0$ là $d_{1} : 4 x + 3 y + 15 = 0$ , $d_{2} : 4 x + 3 y - 35 = 0$ .