Giải bài 5 trang 69

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi góc x(0∘≤x≤90∘)$x\left(0^{\circ }\le x\le {90}^{\circ }\right)$, ta đều có:

a) sinx=√1−cos2x$\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$ 

b) cosx=√1−sin2x$\cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$

c) tan2x=sin2xcos2x(x≠90∘)${\tan }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\left(x\ne {90}^{\circ }\right)$               d) cot2x=cos2xsin2x(x≠0∘)${\cot }^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}\left(x\ne 0^{\circ }\right)$

Lời giải chi tiết

a) Theo định nghĩa ta có sinx=y0,cosx=x0$\sin x=y_0,\cos x=x_0$

Với (x0,y0)$\left(x_0,y_0\right)$ là tọa độ điểm M sao cho ^xOM=x$\widehat{xOM}=x$

Ta có x2+y2=1⇔sin2x+cos2x=1$x^2+y^2=1\iff {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

⇒sin2x=1−cos2x$\Rightarrow {\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$

Mà 0∘≤x≤90∘$0^{\circ }\le x\le {90}^{\circ }$ nên sinx>0$\sin x>0$

⇒sinx=√1−cos2x$\Rightarrow \sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$

b) Tương tự câu a) ta có:

x2+y2=1⇔sin2x+cos2x=1⇒cos2x=1−sin2x

Mà 0∘≤x≤90∘ nên cosx>0⇒cosx=√1−sin2x

c) Với x0≠0 ta có

 tanx=y0x0=sinxcosx,cosx≠0 

⇒tan2x=(sinxcosx)2⇒tan2x=sin2xcos2x  (với cosx≠0⇔x≠90∘)   đpcm

c) Với y0≠0 ta có

 cotx=x0y0=cosxsinx,sinx≠0  

⇒cot2x=(cosxsinx)2⇒cot2x=cos2xsin2x (với sinx≠0⇔x≠0∘)     đpcm