Giải bài 5 trang 69

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính: 

a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;

b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD

Lời giải chi tiết

a)      Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$

Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC nên ta có:

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (Tính chất đường phân giác trong tam giác)

Suy ra $\frac{DB}{DC}=\frac{3}{4}$, do đó $DB=\frac{3}{4}DC$

Mà $BD+CD=BC$

Suy ra $\frac{3}{4}CD+CD=5$

$CD=\frac{20}{7}$

Do đó $BD=5-\frac{20}{7}=\frac{15}{7}$.

b)     Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AC tại E. Khi đó DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng AC.

Ta có: $\begin{array}{c}DE\perp AC\\ AB\perp AC\end{array}\}$ suy ra $DE//AB$

Do đó $\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{BC}$

$\frac{DE}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}$

$DE=\frac{12}{7}$ (Tính chất đường phân giác)

c)      Xét tam giác ABC có $DE//AB$ nên $\frac{BD}{BC}=\frac{AE}{AC}$ (Định lý Thales)

Suy ra $\frac{\frac{15}{7}}{5}=\frac{AE}{4}$ nên $AE=\frac{12}{7}$

Tam giác ADE vuông tại E nên ta có:

$AD=\sqrt{A{E}^2+D{E}^2}=\sqrt{{\left(\frac{12}{7}\right)}^2+{\left(\frac{12}{7}\right)}^2}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$