Giải bài 5 trang 72

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Lấy E, F, G, H theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho $A E = B F = C G = D H = a$ ; $B E = C F = D G = A H = b$ . Chứng minh rằng:

a) Tứ giác EFGH là hình gì?

b) Tính diện tích tứ giác EFGH theo a và b.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Sử dụng kiến thức tính chất của hình vuông để chứng minh: Hình vuông có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

+ Sử dụng kiến thức dấu hiệu nhận biết hình vuông để chứng minh: Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

b) + Sử dụng kiến thức về diện tích hình vuông để chứng minh: Diện tích hình vuông bằng bình phương độ dài cạnh hình vuông.

+ Sử dụng kiến thức về diện tích tam giác vuông để chứng minh: Diện tích tam giác vuông bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình vuông nên $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = 90^{0}$

Tam giác HAE và tam giác EBF có:

$\hat{A} = \hat{B} = 90^{0}, A E = B F (= a), A H = B E (= b)$

Do đó, $Δ H A E = Δ E B F (c g v - c g v)$ , suy ra $H E = F E$ , $\hat{H_{1}} = \hat{E_{2}}$

Chứng minh tương tự ta có:

$Δ H A E = Δ G D H (c g v - c g v)$ nên $H E = H G$

$Δ F C G = Δ G D H (c g v - c g v)$ nên $G F = H G$

Do đó, $H E = F E = H G = G F$ . Suy ra, tứ giác EFGH là hình thoi (1)

Ta có: $\hat{E_{2}} + \hat{E_{1}} = \hat{H_{1}} + \hat{E_{1}} = 90^{0}$ . Do đó, $\hat{E_{3}} = 90^{0}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác EFGH là hình vuông.

b) Diện tích hình vuông ABCD là: $S_{A B C D} = A B^{2} = {(a + b)}^{2}$

Diện tích tam giác vuông AHE là: $S_{A H E} = \frac{1}{2} A H . A E = \frac{1}{2} a b$

Tương tự ta có: $S_{H G D} = S_{G F C} = S_{E B F} = \frac{1}{2} a b$

Do đó: $S_{E F G H} = S_{A B C D} - (S_{H G D} + S_{G F C} + S_{E B F} + S_{A H E})$

$= {(a + b)}^{2} - 4. \frac{1}{2} a b = a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 a b = a^{2} + b^{2}$