Giải bài 5 trang 74

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có độ dài cạnh đáy bằng 9 cm, $S H$ là chiều cao. Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ (Hình 5). Tính thể tích của hình chóp $S . A B C$ , biết $H$ là trọng tâm của tam giác $A B C$ , $A H = \frac{\sqrt{3}}{3} A B$ và $S H = 2 A H$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Thể tích của hình chóp tam giác đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao.

Ta có: $V = \frac{1}{3} . S . h$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $A H = \frac{\sqrt{3}}{3} A B$ nên $A H = 3 \sqrt{3}$ cm. Suy ra $S H = 2 A H = 6 \sqrt{3}$ cm.

Do $H$ là trọng tâm của tam giác $A B C$ nên $A H = \frac{2}{3} A M$ .

Suy ra $A M = \frac{3}{2} A H = \frac{9 \sqrt{3}}{2}$ cm.

$Δ A B M = Δ A C M$ (c-c-c) suy ra $\hat{A M B} = \hat{A M C} = 90^{\circ}$ . Do đó $A M ⊥ B C$ .

Diện tích của hình chóp tam giác đều đó là:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} . B C . A M = \frac{81 \sqrt{3}}{4} (c m^{2})$

Thể tích của hình chóp tam giác đều đó là: $\frac{1}{3} . S_{A B C} . S H = \frac{243}{2} (c m^{3})$ .