Giải bài 5 trang 76

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng đường trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

Đề bài

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng đường trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Ta chứng minh AB = AC bằng cách chứng minh 2 tam giác bằng nhau

Lời giải chi tiết

Gọi D là giao điểm của CN và BM

$\Rightarrow$ D là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow C D = \frac{2}{3} C N = B D = \frac{2}{3} B M$ ( do BM = CN )

$\Rightarrow$ tam giác DBC cân tại D do BD = CD

$\Rightarrow$ $\hat{D B C} = \hat{D C B}$ (2 góc đáy trong tam giác cân) (1)

Xét $Δ N D B$ và $Δ M D C$ có :

BD = CD

$\hat{N D B} = \hat{M D C}$ (2 góc đối đỉnh)

ND = DM (do cùng $= \frac{1}{3} C N = \frac{1}{3} B M$ (tính chất của trung trực đi qua trọng tâm tam giác ))

$\Rightarrow Δ N D B = Δ M D C$ (c.g.c)

$\Rightarrow \hat{N B D} = \hat{M C D}$ (2 góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \hat{A B C} = \hat{A C B}$ do $\hat{A B C} = \hat{N B D} + \hat{D B C}$ và $\hat{A C B} = \hat{M C D} + \hat{D C B}$

$\Rightarrow Δ A B C$ cân tại A (do 2 góc bằng nhau)