Giải bài 5 trang 79

Cho hình bình hành ABCD a) Chứng minh b) Cho AB = 4,BC = 5,BD = 7 Tính AC.

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD

a) Chứng minh $2 (A B^{2} + B C^{2}) = A C^{2} + B D^{2}$

b) Cho $A B = 4, B C = 5, B D = 7.$ Tính AC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1. Tính góc AC, BD theo AB, BC, cosA dựa vào định lí cosin

Bước 2: Biến đối để suy ra đẳng thức

b) Theo câu a: $A C^{2} = 2 (A B^{2} + B C^{2}) - B D^{2}$ , từ đó suy ra AC.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí cosin ta có:

${\begin{cases} A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . B C . \cos A B C \\ B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2. A B . A D . \cos B A D \end{cases}$

Mà $A D = B C; \cos B A D = \cos (180^{\circ} - A B C) = - \cos A B C$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\begin{cases} A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} + 2. A B . B C . \cos B A D \\ B D^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . A D . \cos B A D \end{cases} \end{array}$

Cộng vế với vế ta được:

$A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + B C^{2})$

b) Theo câu a, ta suy ra: $A C^{2} = 2 (A B^{2} + B C^{2}) - B D^{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A C^{2} = 2 (4^{2} + 5^{2}) - 7^{2} = 33 \\ \Rightarrow A C = \sqrt{33} \end{array}$