Giải bài 5 trang 80

Đề bài

Cho tam giác ABC, biết A(1; 3), B(-1; -1), C(5; -3). Lập phương trình tổng quát của:

a) Ba đường thẳng AB, BC, AC;

b) Đường trung trực cạnh AB;

c) Đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình đường thẳng AB đi qua 2 điểm A và B là:

$\frac{x-1}{-1-1}=\frac{y-3}{-1-3}\iff \frac{x-1}{-2}=\frac{y-3}{-4}\iff 2x-y+1=0$.

Phương trình đường thẳng AC đi qua 2 điểm A và C là:

$\frac{x-1}{5-1}=\frac{y-3}{-3-3}\iff \frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{-6}\iff 3x+2y-9=0$.

Phương trình đường thẳng BC đi qua 2 điểm B và C là:

$\frac{x+1}{5+1}=\frac{y+1}{-3+1}\iff \frac{x+1}{6}=\frac{y+1}{-2}\iff x+3y+4=0$

b) Gọi d là đường trung trực của cạnh AB.

Lấy N là trung điểm của AB, suy ra $N\left(0;1\right)$.

Do $d\perp AB$ nên ta có vecto pháp tuyến của d là: $\overrightarrow{n_d}=\left(1;2\right)$.

Vậy phương trình đường thẳng d đi qua N có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_d}=\left(1;2\right)$ là:

$1\left(x-0\right)+2\left(y-1\right)=0\iff x+2y-2=0$.

c) Do AH vuông góc với BC nên vecto pháp tuyến của AH là $\overrightarrow{n_{AH}}=\left(3;-1\right)$.

Vậy phương trình đường cao AH đi qua điểm A có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{AH}}=\left(3;-1\right)$ là:

$3\left(x-1\right)-1\left(y-3\right)=0\iff 3x-y=0$.

Do M là trung điểm BC nên $M\left(2;-2\right)$.

Vậy ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(1;-5\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{AM}}=\left(5;1\right)$.

Phương trình đường trung tuyến AM đi qua điểm A có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{AM}}=\left(5;1\right)$ là:

$5\left(x-1\right)+1\left(y-3\right)=0\iff 5x+y-8=0$.