Giải bài 5 trang 80

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$; $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của $AK$ và $CI$ với $BD$.

a) Chứng minh tứ giác $AEFI$ là hình thang

b) Chứng minh $DE=EF=FB$

Lời giải chi tiết

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành (gt)
Suy ra $AB$ // $CD$, $AD$ // $BC$; $AB=CD$; $AD=BC$
Mà $IA=IB=\frac{AB}{2}$; $KD=KC=\frac{CD}{2}$ (do $I$,$K$ là trung điểm)
Suy ra $IA=IB=KD=KC$
Xét tứ giác $AKCI$ có:
$AI=KC$ (cmt)
$AI$ // $KC$
Suy ra $AKCI$ là hình bình hành
Suy ra $IC$ // $AK$
Hay $IF$ // $AE$
Suy ra $AEFI$ là hình thang
b) Vì $ABCD$, $AKCI$ là hình bình hành (gt)
Suy ra $O$ là trung điểm của $AC$, $BD$, $KI$
Suy ra $OD=OB=\frac{1}{2}BD$ (1)
Xét tam giác $ADC$ có hai trung tuyến $AK$, $DO$ cắt nhau tại $E$
Suy ra $E$ là trọng tâm của tam giác
Suy ra $ED=\frac{2}{3}DO$ (2)
Chứng minh tương tự ta có $BF=\frac{2}{3}BO$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $ED=BF=\frac{1}{3}BD$
Suy ra $EF=\frac{1}{3}BD$
Vậy $DE=EF=FB$