Giải bài 5 trang 82

Đề bài

Cho $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$.

a) Gọi D và Q lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta MNQ$.

b) Gọi G và K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP. Chứng minh $\Delta ABG\backsim \Delta MNK$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ suy ra $\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}\left(1\right)$ và $\hat{B}=\hat{N}$

Mà D là trung điểm BC và Q là trung điểm NP nên $BC=2BD$ và $NP=2NQ$

Thay vào biểu thức (1) ta được $\frac{AB}{MN}=\frac{2BD}{2NQ}\Rightarrow \frac{AB}{MN}=\frac{BD}{NQ}$

Xét tam giác ABD và tam giác MNQ có:

$\frac{AB}{MN}=\frac{BD}{NQ}$ và $\hat{B}=\hat{N}$

$\Rightarrow \Delta ABD\backsim \Delta MNQ$ (c-g-c)

b) Vì $\Delta ABD\backsim \Delta MNQ$ nên ta có $\frac{AB}{MN}=\frac{AD}{MQ}\left(2\right)$ và $\widehat{BAD}=\widehat{NMQ}$ hay $\widehat{BAG}=\widehat{NMK}$

Mà G và K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP nên $AD=\frac{3}{2}AG$ và $MQ=\frac{3}{2}MK$.

Thay vào (2) ta được: $\frac{AB}{MN}=\frac{\frac{3}{2}AG}{\frac{3}{2}MK}\Rightarrow \frac{AB}{MN}=\frac{AG}{MK}$

Xét tam giác ABG và tam giác NMK có:

$\frac{AB}{MN}=\frac{AG}{MK}$ và $\widehat{BAG}=\widehat{NMK}$

$\Rightarrow$$\Delta ABG\backsim \Delta MNK$ (c-g-c)