Giải bài 5 trang 84

Đề bài

Ở một trại dưỡng lão, tỉ lệ người mắc bệnh tim mạch là 25%. Tỉ lệ người hút thuốc trong số những người mắc bệnh tim mạch gấp 2 lần tỉ lệ người hút thuốc trong số những người không mắc bệnh tim mạch. Tính xác suất một người ở trại dưỡng lão mắc bệnh tim mạch, biết rằng người đó hút thuốc.

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố “Một người ở trại dưỡng lão mắc bệnh tim mạch” và $B$ là biến cố “Một người ở trại dưỡng lão hút thuốc”.

Do ở trại dưỡng lão đó, tỉ lệ người mắc bệnh tim mạch là 25% nên ta có $P\left(A\right)=0,25$.

Do đó $P\left(\overline{A}\right)=1-0,25=0,75$.

Gọi tỉ lệ người hút thuốc trong số những người không mắc bệnh tim mạch là $a\left(0\le a\le 1\right)$. Do tỉ lệ người hút thuốc trong số những người mắc bệnh tim mạch gấp 2 lần tỉ lệ người hút thuốc trong số những người không mắc bệnh tim mạch nên $P\left(B|\overline{A}\right)=a$ và $P\left(B|A\right)=2a$.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất một người ở trại dưỡng lão hút thuốc là

$P\left(B\right)=P\left(A\right)P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right)P\left(B|\overline{A}\right)=0,25.2a+0,75.a=1,25a$.

Theo công thức Bayes, xác suất một người ở trại dưỡng lão mắc bệnh tim mạch, biết rằng người đó hút thuốc là:

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,25.2a}{1,25a}=0,4$.