Giải Bài 5 trang 84

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng $\hat{B M N} = \hat{H A C}$

b) Kẻ $M I ⊥ A H$ (I ∈ AH), gọi K là giao điểm của AH và BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta xét tam giác BMC cân tại M nên $\hat{M B C} = \hat{M C B}$

Nên $\hat{B M N} = \hat{H A C} = 90^{o} - \hat{M B C} = 90^{o} - \hat{M B C}$

b) Ta chứng minh I là trung điểm của AK do $Δ M A I = Δ M K I$ (g-c-g)

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác BMC cân tại M (Do M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC) có : $\hat{M B C} = \hat{M C B}$ (góc tương ứng)

Mà $\hat{B M N} = 90^{o} - \hat{M B C}$ và $\hat{H A C} = 90^{o} - \hat{B C M}$

$\Rightarrow$ $\hat{B M N} = \hat{H A C}$

b) Ta có MN⫽AH (do cùng vuông góc với BC)

$\Rightarrow \hat{A K M} = \hat{K M N}$ (2 góc so le trong)

Mà $\hat{B M N} = \hat{H A C}$ ( chứng minh a)

$\Rightarrow \hat{K A M} = \hat{A K M}$ (do cùng = $\hat{B M N}$ )

Xét $Δ M I A$ và $Δ M I K$ có :

IM cạnh chung

$\hat{K A M} = \hat{A K M}$

$\hat{A I M} = \hat{M I K} = 90^{o}$

$\Rightarrow Δ M I A = Δ M I K$ (cạnh góc vuông-góc nhọn)

$\Rightarrow$ AI = IK (cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ I là trung điểm AK