Giải bài 5 trang 85

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (Hình 88). Chứng minh:

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (Hình 88). Chứng minh:

a) $Δ A B C ∽ Δ H B A$ và $A B^{2} = B C . B H$

b) $Δ A B C ∽ Δ H A C$ và $A C^{2} = B C . C H$

c) $Δ A B H ∽ Δ C A H$ và $A H^{2} = B H . C H$

d) $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}$

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng rồi suy ra tỉ số đồng dạng tương ứng.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có:

$\hat{B A C} = \hat{B H A} = 90^{\circ}; \hat{B}$ chung

$\Rightarrow Δ A B C ∽ Δ H B A$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{A B}{H B} = \frac{B C}{B A} \Rightarrow A B^{2} = B C . H B$

b) Xét tam giác ABC và tam giác HAC có:

$\hat{B A C} = \hat{A H C} = 90^{\circ}; \hat{C}$ chung

$\Rightarrow Δ A B C ∽ Δ H A C$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{A C}{H C} = \frac{B C}{A C} \Rightarrow A C^{2} = B C . C H$

c) Ta có: $Δ A B C ∽ Δ H B A$ và $Δ A B C ∽ Δ H A C$ nên $Δ A B H ∽ Δ C A H$

$\Rightarrow \frac{A H}{C H} = \frac{B H}{A H} \Rightarrow A H^{2} = B H . C H$

d) Ta có:

$A B^{2} = B C . B H \Rightarrow \frac{1}{A B^{2}} = \frac{1}{B C . B H}$

$A C^{2} = B C . C H \Rightarrow \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{B C . C H}$

$A H^{2} = B H . C H \Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{B H . C H}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{B C . B H} + \frac{1}{B C . C H} \\ = \frac{1}{B C} . (\frac{1}{B H} + \frac{1}{C H}) \\ = \frac{1}{B C} . \frac{B H + C H}{B H . C H} \\ = \frac{1}{B C} . \frac{B C}{B H . C H} \\ = \frac{1}{B H . C H} \\ = \frac{1}{A H^{2}} \end{array}$