Giải bài 5 trang 87

Đề bài

Hai máy X và Y cùng sản xuất một sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của máy X và máy Y lần lượt là 95% và 90%. Một hộp chứa 1 sản phẩm do máy X sản xuất và 9 sản phẩm do máy Y sản xuất. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp.

a) Tính xác suất cả 2 sản phẩm được chọn đều đạt chuẩn.

b) Biết rằng cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn, tính xác suất chúng do máy Y sản xuất.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $A$ là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn” và $B$ là biến cố “Cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất”.

Vì trong hộp có chứa 1 sản phẩm do máy X sản xuất và 9 sản phẩm do máy Y sản xuất nên xác suất cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất là: $P\left(B\right)=\frac{C_9^2}{C_{10}^2}=0,8$.

Do đó $P\left(\overline{B}\right)=1-0,8=0,2$.

Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của máy X là 95% và máy Y lần lượt và 90% nên ta có $P\left(A|B\right)=0,9.0,9=0,81$ và $P\left(A|\overline{B}\right)=0,9.0,95=0,855$.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất cả hai sản phẩm được chọn đều đạt chuẩn là:

$P\left(A\right)=P\left(B\right)P\left(A|B\right)+P\left(B\right)P\left(A|\overline{B}\right)=0,8.0,81+0,2.0,855=0,819$.

b) Theo công thức Bayes, xác suất cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất, biết rằng cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn là:

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,8.0,81}{0,819}=\frac{72}{91}\approx 0,791$.