Giải bài 5 trang 88

Cho tam giác ABCABCABC vuông cân tại AAA. Qua AAA kẻ đường thẳng ddd bất kì sao cho đường thẳng ddd không cắt đoạn thẳng BCBCBC.

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ . Qua $A$ kẻ đường thẳng $d$ bất kì sao cho đường thẳng $d$ không cắt đoạn thẳng $B C$ . Gọi $D, E$ lần lượt là hình chiếu của $B, C$ trên đường thẳng $d$ . Chứng minh $A D^{2} + A E^{2}$ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng $d$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông và định lí Pythagore trong tam giác vuông để chứng minh $A D^{2} + A E^{2}$ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng $d$ .

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh được:

$\hat{B A D} + \hat{A B D} = 90^{\circ}$ và $\hat{B A D} + \hat{C A E} = 90^{\circ}$ nên $\hat{A B D} = \hat{C A E}$ .

$Δ A B D = Δ C A E$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $A D = C E$

Do đó $A D^{2} + A E^{2} = C E^{2} + A E^{2} = A C^{2}$ (vì tam giác $C A E$ vuông tại $E$ )

Vậy $A D^{2} + A E^{2}$ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng $d$ .