Giải bài 5 trang 88

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ . Qua $A$ kẻ đường thẳng $d$ bất kì sao cho đường thẳng $d$ không cắt đoạn thẳng $B C$ . Gọi $D, E$ lần lượt là hình chiếu của $B, C$ trên đường thẳng $d$ . Chứng minh $A D^{2} + A E^{2}$ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng $d$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông và định lí Pythagore trong tam giác vuông để chứng minh $A D^{2} + A E^{2}$ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng $d$ .

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh được:

$\hat{B A D} + \hat{A B D} = 90^{\circ}$ và $\hat{B A D} + \hat{C A E} = 90^{\circ}$ nên $\hat{A B D} = \hat{C A E}$ .

$Δ A B D = Δ C A E$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $A D = C E$

Do đó $A D^{2} + A E^{2} = C E^{2} + A E^{2} = A C^{2}$ (vì tam giác $C A E$ vuông tại $E$ )

Vậy $A D^{2} + A E^{2}$ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng $d$ .